Kenguru Nemzetközi Matematika Verseny 2003
Feladatok 11-12. osztályosok részére
3 pontos feladatok
1. Az alábbiak közül melyik lehet a jobb oldali ábrán látható hasáb felső lapja?
A) | B) | C) | D) | E) |
2. András ki akarta számolni egy gömb térfogatát, de tévedésből a gömb átmérőjével számolt a sugara helyett. Mit kell tennie az így kapott eredménnyel, hogy megkapja a helyes választ?
A) 2-vel kell elosztani | B) 4-gyel kell elosztani | C) 6-tal kell elosztani | D) 8-cal kell elosztani | E) 16-tal kell elosztani |
3.
Az ábrán látható mindegyik kör területe b, a négyzeté pedig a.
Mekkora a vastag görbével határolt terület?
A) 3b | B) 2a+b | C)a+2b | D)3a | E)a+b |
4. Az alábbiak közül melyikkel egyenlő 2n+2003+2n+2003?
A) 2n+2004 | B) 22n+4006 | C) 42n+4006 | D) 42n+2003 | E) 4n+2003 |
5. Egy erdőben az elmúlt 4 esztendőben átlagosan évente 325 darab fát vágtak ki. Az idei évet is beleszámolva, öt esztendő alatt, az évente kivágott fák darabszáma várhatóan 20%-kal több lesz. Hány darab fát vágnak ki 2003-ban?
A) 650 | B) 600 | C) 455 | D) 390 | E) 345 |
6. Egy számháromszöget szeretnénk készíteni a következő szabályok szerint: minden cellába 1-nél nagyobb egész számokat kell írni úgy, hogy bármely cellában szereplő szám értéke a két felette lévő szám szorzatával legyen egyenlő. Az alábbi számok közül melyik nem kerülhet a szürkével jelölt cellába?
A) 154 | B) 100 | C) 90 | D) 88 | E) 60 |
7. Gyöngyi és Anita Riminibe utaztak, ugyanazon a vonaton. Gyöngyi elölről a hetedik kocsiban utazott, Anita pedig a hátulról számított hatodik kocsiban. Kettejük kocsija között egy kocsi volt még. Hány kocsiból állt a szerelvény?
A) 14 | B) 13 | C) 12 | D) kevesebb mint 12 | E) nem lehet meghatározni |
8. Hányféleképpen lehet hézagmentesen, átfedés nélkül lefedni a fehér mezőket 20 darab 1*2-es dominóval? (A forgatással vagy tükrözéssel egymásba vihető lefedéseket tekintsük különbözőnek.)
A) 8 | B) 16 | C) 32 | D) 64 | E) 100 |
9. Jelölje a, b, c, d az 1, 2, 3, 4 számokat, valamilyen sorrendben. Mennyi az ab+cd kifejezés lehető legnagyobb értéke?
A) 12 | B) 19 | C) 66 | D) 82 | E) 83 |
10. Frici egy téglatestet épített 4 olyan elemből, melyek mindegyike 4 kockából áll. Milyen alakú a fehér elem?
4 pontos feladatok
11. Az ABC háromszög oldalai 5, 12 és 13 egység. A háromszög belsejében lévő D pont oldalaktól való távolságai e, f és g. Mennyi az 5e+12f+13g kifejezés értéke?
A) 120 | B) 90 | C) 60 | D) 30 | E) nem lehet meghatározni |
12. Két fehér és nyolc szürke sirály repül egy folyó felett. Egyszer csak leszállnak, és véletlenszerűen leülnek egy sorban egy hosszú ágon. Mennyi a valószínűsége, hogy a két fehér sirály egymás mellé kerül?
A) | B) | C) | D) | E) |
13. Mennyi a kifejezés értéke?
A) 2000 | B) 2001 | C) 2002 | D) 2003 | E) 2004 |
14. Egy tompaszögű háromszög két oldala és a harmadik oldalhoz tartozó magassága, nem feltétlenül ebben a sorrendben, 12, 13 és 15 cm. Hány cm2 a háromszög területe?
A) 24 | B) 80 | C) 84 | D) | E) nem lehet meghatározni |
15. Egy számítógép a pozitív egész számok hetedik hatványait nyomtatja szépen sorban: 17, 27, 37, 47,? Hány számot fog kinyomtatni az 521 és a 249 között?
A) 13 | B) 8 | C) 5 | D) 3 | E) 2 |
16. Egy divatüzlet vezetője szeretné megállapítani egy pulóver ideális árát. A piackutató szakemberek a következő felvilágosítást adják a számára: Ha a ruhadarab ára 7500 forint lesz, akkor várhatóan 100-an fogják megvásárolni. Valahányszor az árat 500 forinttal csökkentjük, a vevők száma minden esetben 20-szal nő, míg minden 500 forintos áremelés hatására 20-szal csökken. Milyen ár mellett várható a legnagyobb haszon, ha a beszerzési ár 3000 forint volt?
A) 8500 | B) 8000 | C) 7500 | D) 7000 | E) 6500 |
17. Mennyi az n lehető legnagyobb értéke, ha n kétjegyű pozitív egész szám és 10n+1 osztható 101-gyel?
A) 92 | B) 94 | C) 96 | D) 98 | E) 99 |
18. A jobb oldali ábrán látható nagyobb négyzet oldala 2 m, a kisebbiké 1 m. Hány m2 a szürkével jelölt rész területe?
A) 1 | B) 2 | C) | D) 4 | E) A két négyzet helyzetétől függ. |
19. Egy szabályos hatszög összes oldalát és átlóját berajzoltuk. Nevezzünk az így kapott szakaszok közül kettőt "idegennek", ha nincs közös pontjuk (beleértve a végpontokat is). Hány "idegen" szakaszpár van?
A) 28 | B) 26 | C) 30 | D) 24 | E) 36 |
20. Mennyi a 1002-992+982-972+...+22-12 kifejezés értéke?
A) 2002 | B) 2020 | C) 4040 | D) 5050 | E) 8008 |
5 pontos feladatok
21. Egy pozitív a valós számról tudjuk, hogy . Mennyi az kifejezés értéke?
A) | B) | C) 6 | D) | E) |
22. Egy sakkversenyen olasz, spanyol, francia és magyar sakkozók vettek részt, összesen 15-en. Az egyes országokból érkezett versenyzők száma különböző. Az olaszok és a spanyolok összesen hatan voltak. Az Atlanti-óceán partján fekvő országokból összesen heten érkeztek. Hányféle értéket vehetett fel a magyar versenyzők száma?
A) 2 | B) 3 | C) 4 | D) 5 | E) 6 |
23. Peti egy érdekes ábrát rajzolt a füzetébe. Először rajzolt egy szabályos háromszöget. Ezután megrajzolta a köré írt kört. Következő lépésben a kör köré négyzetet rajzolt, majd felvette ennek a köré írt körét. Ezután egy szabályos ötszög következett, és így tovább. Addig folytatta ezt az eljárást, felváltva mindig eggyel több oldalú szabályos sokszögekkel és köréírt körökkel, míg el nem jutott a 16 oldalú szabályos sokszögig. Hány részre darabolják a korábban berajzolt vonalak a 16 oldalú sokszöget?
A) 232 | B) 240 | C) 248 | D) 264 | E) 272 |
24. Tudjuk, hogy a és b olyan prímszámok, melyekre a > b, továbbá a+b és a-b is prímszám. Az alábbi állítások közül melyik teljesül biztosan az a+b+(a-b)+(a+b)kifejezésre?
A) páros | B) 3-mal osztható | C) 5-tel osztható | D) 7-tel osztható | E) prímszám |
25. Az ABCD téglalapban a P, Q, R pontok a megfelelő oldalak felezőpontjai, az M pedig a QR szakasz felezőpontja. Hányad része az APM háromszög területe a téglalap területének?
A) | B) | C) | D) | E) |
26. Hány olyan, pozitív egészekből álló (x,y) rendezett számpár van, amelyre , ahol p egy rögzített, 2-nél nagyobb prímszám?
A) 0 | B) 1 | C) 2 | D) 3 | E) több |
27. Az ABCD téglalap AB oldala 16 cm, a BC pedig 12 cm. A C csúcsnál derékszögű ACE háromszög CE oldala 15 cm. Az AE és CD szakaszok metszéspontja F. Hány cm2 az ACF háromszög területe?
A) 75 | B) 80 | C) 96 | D) 72 | E) 48 |
28. Zoli egy kocka éleit vektorokká alakítja, majd az így kapott 12 vektort összeadja. Hány különböző összeget kaphat ilyen módon, ha az élek összes irányítását kipróbálja?
A) 25 | B) 27 | C) 64 | D) 100 | E) 125 |
29. Legyen f a valós számokon értelmezett olyan polinomfüggvény, mely minden x valós számra igazzá teszi az egyenlőséget. Mivel egyenlő ?
A) x4+4x2 | B) x4 | C) x4+4x2-4 | D) x4-4 | E) más érték |
30. Jancsi felírta az összes olyan hétjegyű egész számot, amely csak 0 és 1 számjegyeket tartalmaz. Hányszor írta le az 1-es számjegyet?
A) 128 | B) 224 | C) 256 | D) 288 | E) 448 |
Összeállította: Erdős Gábor